А для того чтобы подобраться к этим "более фундаментальным" вещам, надо суметь преодолеть те стереотипы, которые кажутся аксиоматическими. Здесь я имею в виду основоположения, на которых базируется классический анализ. Идея модернизации основ не нова, – в теоретической физике она породила драматическую ситуацию, суть которой передают слова Альберта Эйнштейна: "Утверждают, что успех метода Гейзенберга может быть приведен к чисто алгебраическому методу описания природы, то есть исключению из физики непрерывных функций. Но тогда нужно будет в принципе отказаться от пространственно-временного континуума…" (Эйнштейн А. Собрание науч. тр., т. 4, с. 223). Понятно, что это отказ от континуального принципа бесконечной делимости, который в физике еще может быть принят с определенными условностями и оправдан ссылками на экспериментальный опыт, однако в чистой математике это уже немыслимо: нет оснований, по которым деление абстрактной величины должно на определенной стадии прекращаться.
К примеру, при построении того же фрактала Ван дер Вардена деление сторон многоугольника на три части сопровождается надстраиванием середины, причем деление до бесконечности осуществляется одновременно для всех отрезков, образованных на данной стадии. Тем не менее очевидно, что и в этом случае принцип бесконечной делимости сохраняет свою силу. Таким образом, и возникает вопрос: как можно соотнести методы фрактального разбиения величин, построения недифференцируемых линий – что для математики уже привычно с теми стандартными методами описания континуума, в том числе и пространственно-временного, что приняты сейчас в физике? Я только над этим и думал и только что рассказал Вам, что придумал.
Всего доброго.

С уважением – Павел Полуян.
P.S. На сайте ИСЛАМ.РУ опубликована моя статья "Тайна сакрального полумесяца. От алгебры до геополитики".
г. Красноярск.

Авторский комментарий:

Текст письма я отредактировал и сократил, но одну ошибку не стал исправлять, поскольку это и не ошибка, а черт знает что. Я имею в виду фрактал Ван дер Вардена. Именно под этим именем я когда-то встретил сию фигуру в одной популярной книжке – и был поражен.
Нарисуем треугольник. Каждую из сторон его разделим на три части и вместо центрального отрезка вставим равнобедренный треугольник с ребрами, равными этим отрезкам (создадим на ровном месте излом). Теперь перед нами всем известная "звезда Давида" – шестиконечник с равными сторонами. Каждую из его сторон мы опять разбиваем на три части и снова надстраиваем треугольники. Получается уже нечто вроде снежинки.

Картинка фрактала на основе пятиконечной звезды.

Легко понять, что этот процесс можно продолжать бесконечно – деля стороны многоугольника и изламывая их. Количество сторон и вершин у многоугольника будет нарастать, а поскольку на каждом шаге увеличивается и периметр фигуры, не сложно подсчитать, что замкнутая изломанная линия эта будет удлиняться до бесконечности. Вот это да! На маленьком ограниченном листке бумаги можно нарисовать бесконечно длинную линию! (Конечно, реально вы ее не нарисуете, но, поскольку принцип ясен, можете ее попробовать вообразить.) Этот чудесный бесконечноугольник я и называл в письме – фрактал Ван дер Вардена. Но потом вдруг обнаружил в литературе, что у фигуры этой есть другое название – линия Коха. Потом встретил и третье – снежинка Кох (поскольку, мол, автор ее – Хельге Кох, женского пола и фамилия ее не склоняется).
Чуть позже все-таки докопался до истины-автор, хоть и Хельге, но не женщина, а мужского пола датский математик (рядом – портрет: и точно, смотрю, мужчина). А голландский алгебраист Ван дер Варден автором снежинки этой не является вообще, зато он проанализировал математически процесс бесконечного излома линии в ряде аналогичных случаев. К тому же Ван дер Варден жил несколько позднее Коха, да и прославился гораздо больше – не только математическими, но и историческими исследованиями (про Египет писал).
По ходу всех этих запутанных разысканий о Кохах (еще та геометрия – помните "палочки Коха"?) я вдруг вспомнил, что в фантастических романах Ивана Ефремова "Туманность Андромеды" и "Час Быка", где летают сквозь пространство-время сверхсветовые звездолеты, говорится о математической науке грядущего, которая и позволяет осуществлять астронавигацию.
А называется эта наука БИПОЛЯРНАЯ МАТЕМАТИКА, и в частности – КОХЛЕАРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Вот так сюрприз! Неужели русский фантаст предполагал, что из снежинки Коха вырастет будущая научная теория, позволяющая творить космические чудеса? И что это за "биполярное исчисление" – уж не тот ли нестандартный анализ, где гипердействительные числа образуют два полюса величин – актуально бесконечно малые и актуально бесконечно большие?^[1]
Вообще, Иван Ефремов – загадочная и титаническая личность. Пророк. Ученый-палеонтолог, раскапывавший динозавров в пустынях Евразии, геолог, предсказавший открытие алмазов в Якутии. Он обладал энциклопедическими знаниями и в истории, что выразил в своих романах про Александра Македонского, про финикийских путешественников. Ефремов сформировал стилистику "рассказов о необычайном", а его роман "Туманность Андромеды" положил начало жанру "космических эпопей" в литературе и кино (до сих пор не могу простить Георгу Лукасу, что он своему отрицательному персонажу Дарт Вейдеру дал имя ефремовского героя, того звали Дар Ветер). Впрочем, звездные войны более четко соотносятся с дилогией писателя Сергея Снегова "Люди как боги", первый том которой вошел в состав книги "Эллинский секрет", а название сборнику дал рассказ Ивана Ефремова, опубликованный тут же. (Впервые высказана гипотеза о генетической памяти: русский скульптор во сне вспоминает творческие секреты своих древнегреческих предков.) К слову: в романе Снегова отразились научные прозрения знаменитого астрофизика Козырева, с которым писатель вместе сидел в ГУЛАГе, – звездолеты "людей-богов" не через нуль-пространство скачут, а просто уничтожают расстояние как таковое, аннигилируя пустоту-протяженность (в метрике пространства остается нора).

Фотографии с выставки.

В общем, вспоминать тут можно бесконечно – целый роман сам собой напишется. И чтобы не провалиться в филологическую нору, я предлагаю заняться более легким жанром – перед вами комикс "Уничтожение черного".
Художник Евгений Поротов меня изобразил очень похоже, а девочки – знакомые художницы из нашего творческого объединения "Ультрамарин". На выставке, которую мы все вместе проводили, это самое "Исчезновение черного" было представлено в качестве авангардного художественного произведения.
То есть на стене действительно висел фрактал (клеточки я рисовал на компьютере, затем распечатал на ризографе, а потом склеил квадратный лист 4х4 м). Комикс я тоже растиражировал – он был чем-то вроде пояснительной программки, которую я раздавал тут же посетителям выставки. И устно пояснял: "Если представить, что на шахматной доске каждая черная клеточка сама является шахматкой, то можно уйти и дальше в бесконечность измельчения черных полей – так что в пределе не останется ни одной площадки, закрашенной черным цветом!" Таким образом, математическое фрактальное построение предстало на художественной выставке в качестве концептуальной акции.
Фрактал "Исчезновение черного" я считаю очень важным.
Было бы здорово, если бы нашелся какой-нибудь ван-дер-варден и проанализировал все математические тонкости, в нем обнаруживаемые. Что касается авторства, то я не встречал в литературе именно такого метода построения. Есть как бы обратная операция-"Ковер Серпинского", где квадратный лист бумаги расчерчивают клеточками "крестики-нолики", потом вырезают середину и продолжают эту же процедуру для оставшихся 8 квадратов и – до бесконечности, где вся площадь оказывается в дырах. У меня, как видите, все иначе. Однако на открытие не претендую – компьютерный растр настолько известен, что предложенная мной операция как бы сама собой разумеется.
Бумажный лист с фракталом "Исчезновение черного" я отвез в Москву и выставил на конференции в музее им. Вернадского- это стало поводом для моего знакомства с Валентином Ключаревым. Поразительно, в его докладе присутствовало аналогичное построение, но не для "шахматки", а для мозаики, сложенной из треугольников. Так что идея носится в воздухе. Впрочем, как оказалось, носится она в воздухе уже не одно столетие.

^[1] Между прочим, в стандартном анализе есть дифференциалы бесконечно малые, а вот бесконечно больших величин вообще нет — что за асимметрия? Наверное, бесконечные величины на листок бумаги еще не научились укладывать!